Cours : La division

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I) Définitions

Soit le calcul suivant :

\begin{equation} 12 = 3 \times 4 \end{equation}

On distingue ici :

  • 3 et 4 qui sont appelés Diviseurs de 12
  • 12 qui est un multiple de 3 et de 4, et qui est aussi  divisible à la fois par 3 et par 4

 

\begin{equation} 12 \div 4= 3 \end{equation}

\begin{equation} 12 \div 3= 4 \end{equation}

 

II) Règles de calcul sans reste

 

Dans une division euclidienne, on distingue les élements suivants :

c9565f529dc9e4990e7d8936ad13f19f98e6869bd2790f490f4b9d7dcb0a2b6f.png

 

Il existe des règles très pratiques qui permettent de déterminer si un nombre est divisible sans reste, les voici.

 

Un nombre pair (c'est à dire un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8) sera toujours divisible par 2

Par exemple, 26 est un nombre pair car il se termine par 6, on peut donc poser le calcul suivant :

 \begin{equation} 26 \div 2= 13 \end{equation}

 

Un nombre se terminant par un 0 ou 5 sera toujours divisible par 5

Par exemple, 45 se termine par 5, on peut donc poser le calcul suivant :

 \begin{equation} 45 \div 5 = 9 \end{equation}

 

Un nombre se terminant par un 0 sera toujours divisible par 10

Par exemple, 40 se termine par 0, on peut donc poser le calcul suivant :

 \begin{equation} 40 \div 10 = 4 \end{equation}

 

III) Astuces de calcul sans reste complexes

Lorsqu'on veut faire une division avec de grands nombres, il est difficile de savoir si un nombre est divisible par un autre. 

Par exemple : saurais tu dire si le calcul suivant est sans reste ?

 \begin{equation} 370368 \div 3 =  ? \end{equation}

Réponse : et bien oui ! Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, alors ce nombre est aussi divisible par 3, regarde :

 \begin{equation} 3+7+0+3+6+8 = 27  \end{equation}

Et comme 27 est divisible par 3, le résultat de cette équation est sans reste, on peut donc dire que 370368 est divisible par 3

 \begin{equation} 370368 \div 3 =  123456 \end{equation}

 

De même, il existe une astuce pour savoir si un nombre est divisible par 4 : tu dois observer le nombre formé par ses 2 derniers chiffres. S'il est divisible par 4, alors le nombre initial est aussi divisible par 4.

Par exemple, 123456789101112 ! Les 2 derniers chiffres forment le nombre 12, qui est divisible par 4. On peut donc dire que 123456789101112 est divisible par 4. Fastoche non ?

 

Enfin, un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (oui, même technique que pour savoir s'il est divisible par 3). 

Par exemple :  1111111101 !

\begin{equation} 1+1+1+1+1+1+1+1+0+1 = 9  \end{equation}

Et comme 9 est divisible par 9 le résultat de cette équation est sans reste, on peut donc dire que 1111111101 est divisible par 9

 \begin{equation} 1111111101 \div 9 =  123456789 \end{equation}

 

 

 


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Florent


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